Question

若对任意的n∈N^*，存在正常数M，恒有|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|≤M成立，则{b_n}叫做Γ数列．
（1）若公差为d的等差数列{a_n}是Γ数列，求d的值；
（2）记数列{b_n}的前n项和为S_n，证明：若{S_n}是Γ数列，则{b_n}也是Γ数列；
（3）若首项为1，公比为q的等比数列{b_n}是Γ数列，当M=2时，求实数q的取值范围．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|=（n-1）d≤M，即可求得d=0；
（2）由{S_n}是Γ数列得，可得|b_n|+|b_n-1|+…+|b₂|≤M，所以可求得|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|≤=2M+|b₁|，即可证明{b_n}是Γ数列；
（3）由题意可得若对任意的n∈N^*，|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

≤2成立，则必有|q|＜1，所以|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

＜

|q-1|

1-|q|

≤2，讨论可解得q的取值范围．

解答： （1）由题意|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|=（n-1）d≤M，
由n的任意性，得d=0，
（2）由{S_n}是Γ数列得，存在正常数M，
恒有|S_n-S_n-1|+|S_n-1-S_n-2|+…+|S₂-S₁|≤M成立，
即|b_n|+|b_n-1|+…+|b₂|≤M，
所以|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|
≤|b_n|+2|b_n-1|+2|b_n-2|+…+2|b₂|+|b₁|
≤2|b_n|+2|b_n-1|+2|b_n-2|+…+2|b₂|+|b₁|
=2M+|b₁|，
因为2M+|b₁|是正常数，所以{b_n}是Γ数列．
（3）由（1）知当q=1时{b_n}是Γ数列，
显然当q=-1时{b_n}不是Γ数列．
|b_n-b_n-1|+|b_n-1-b_n-2|+…+|b₂-b₁|
=|q|^n-2•|q-1|+|q|^n-3•|q-1|+…+|q-1|
=|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

，
若对任意的n∈N^*，|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

≤2成立，则必有|q|＜1，
所以|q-1|

1-|q|n-1

1-|q|

＜

|q-1|

1-|q|

≤2，
当0＜q＜1时，上式恒成立；
当-1＜q＜0时，上式化为

1-q

1+q

≤2，解得-

1

3

≤q＜0．
所以，q的取值范围是[-

1

3

，0）∪（0，1]．

点评：本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了数列的函数特性及不等式的解法，属于中档题．