题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（1，2），M，N为圆O上不同的两点，且满足
•
=0．若
=
+
，则|
|的最小值为 ．
| PM |
| PN |
| PQ |
| PM |
| PN |
| PQ |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：如图所示，由于
•
=0，可得
⊥
．由于
=
+
，利用向量的平行四边形法则和矩形的定义可得|
|=|
|．当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值．
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
| PQ |
| PM |
| PN |
| PQ |
| MN |
解答：
解：如图所示，∵
•
=0，∴
⊥
．
∵
=
+
，则|
|=|
|．
当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值．
设kPM=k，∵∠QPM=45°，∴
=1，解得k=
．
∴直线PM的方程为：y-2=
(x-1)，
化为x-3y+5=0，
∴
，化为10y2-30y+9=0，
解得y=
(y=
舍去)．
∴x=3y-5=
．
∴M(
，
)．
∴|
|=|
|=
|
|=
=
=3
-
．
故答案为：3
-
．
| PM |
| PN |
| PM |
| PN |
∵
| PQ |
| PM |
| PN |
| PQ |
| MN |
当四边形PMQN为正方形且MN⊥OP时，|MN|取得最小值．
设kPM=k，∵∠QPM=45°，∴
| 2-k |
| 1+2k |
| 1 |
| 3 |
∴直线PM的方程为：y-2=
| 1 |
| 3 |
化为x-3y+5=0，
∴
|
解得y=
15+3
| ||
| 10 |
15-3
| ||
| 10 |
∴x=3y-5=
9
| ||
| 10 |
∴M(
9
| ||
| 10 |
15+3
| ||
| 10 |
∴|
| PQ |
| MN |
| 2 |
| PM |
| 2 |
(
|
32-6
|
| 3 |
| 5 |
故答案为：3
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查了向量的平行四边形法则和矩形的定义、满足一定条件取得最小值的转化问题，考查了计算能力，属于难题．
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