Question

已知函数f（x）=sin（

π

2

-ωx）（ω＞0）任意两个零点之间的最小距离为

π

2

．
（Ⅰ）若f（α）=

1

2

，α∈[-π，π]，求α的取值集合；
（Ⅱ）求函数y=f（x）-cos（ωx+

π

3

）的单调递增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先根据任意两个零点之间的距离求出最小正周期，进一步确定α的集合．
（Ⅱ）通过三角恒等变换求出正弦型函数的解析式，进一步利用整体思想求单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=sin（

π

2

-ωx）=cosωx，任意两个零点之间的最小距离为

π

2

，
所以：f（x）的最小正周期为π，故T=

2π

ω

=π，
又ω＞0，
故ω=2
由f（α）=

1

2

，得cos2α=

1

2

，
所以2α=2kπ±

π

3

，（k∈Z），
即α=kπ±

π

6

又α∈[-π，π]，
所以α∈{-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

}．
（Ⅱ）函数 y=cos2x-cos（2x+

π

3

）=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=sin(2x+

π

6

)
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

所以函数的单调递增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题考查的知识要点：正弦函数的最小正周期的求法，正弦型函数的单调区间．