题目内容
如图，椭圆C：| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 7 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|
| OP |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）由题意可知a2+b2=7，a=2c，由此能够求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）分类讨论，当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，利用点差法，结合Q是MN的中点，即可求直线m的方程；
（Ⅲ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使以AB为直径的圆过原点成立的直线l存在，则以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．
（i）当l不垂直于x轴时，根据题设条件能够推出直线l不存在．
（ii）当l垂直于x轴时，满足|
|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，由A、B两点的坐标为（1，
），（1，-
）或（-1，
），（-1，-
）．当x=1时
•
=（1，
）•（1，-
）=-
≠0．当x=-1时，
•
=（-1，
）•（-1，-
）=-
≠0．所以此时直线l也不存在．
（Ⅱ）分类讨论，当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，利用点差法，结合Q是MN的中点，即可求直线m的方程；
（Ⅲ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使以AB为直径的圆过原点成立的直线l存在，则以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．
（i）当l不垂直于x轴时，根据题设条件能够推出直线l不存在．
（ii）当l垂直于x轴时，满足|
| OP |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
解答：
解：（Ⅰ）依题意有|A1B2|=
=
∴a2+b2=7…（1分）
又由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2．有2a•b=2•2c•b，∴a=2c…（2分）
解得a2=4，b2=3，…（3分），
故椭圆C的方程为
+
=1．…（4分）
（Ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
则
+
=1，
+
=1，
两式相减得：k=
=-
×
．
∵Q是MN的中点，
∴可得直线m的斜率为k=
=-
，（7分）
当直线m的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得M(1，
)，N(1，-
)，
这时MN的中点为（1，0），
∴x=1不符合题设要求．…（8分）
综上，直线m的方程为3x+4y-7=0…（9分）
（Ⅲ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设满足题设的直线l存在，
（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|
|=1得
=1，即m2=k2+1，…（10分）
又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．
将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0，
由求根公式可得x1+x2=
，④x1x2=
．⑤
0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
将④，⑤代入上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，⑥
将m2=1+k2代入⑥并化简得-5（k2+1）=0，矛盾．
即此时直线l不存在．…（12分）
（ii）当l垂直于x轴时，满足|
|=1的直线l的方程为x=1或x=-1，
由A、B两点的坐标为（1，
），（1，-
）或（-1，
），（-1，-
）．
当x=1时，
•
=（1，
）•（1，-
）=-
≠0，
当x=-1时，
•
=（-1，
）•（-1，-
）=-
≠0．
∴此时直线l也不存在．
综上所述，使
•
=0成立的直线l不成立，即不存在直线l使以AB为直径的圆过原点．
| a2+b2 |
| 7， |
又由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2．有2a•b=2•2c•b，∴a=2c…（2分）
解得a2=4，b2=3，…（3分），
故椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
则
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
| ||
| 4 |
| ||
| 3 |
两式相减得：k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 3 |
| 4 |
| x1+x2 |
| y1+y2 |
∵Q是MN的中点，
∴可得直线m的斜率为k=
| y1-y2 |
| x1-x2 |
| 3 |
| 4 |
当直线m的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得M(1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
这时MN的中点为（1，0），
∴x=1不符合题设要求．…（8分）
综上，直线m的方程为3x+4y-7=0…（9分）
（Ⅲ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设满足题设的直线l存在，
（i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|
| OP |
| |m| | ||
|
又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．
将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0，
由求根公式可得x1+x2=
| -8km |
| 3+4k2 |
| 4m2-12 |
| 3+4k2 |
0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
将④，⑤代入上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，⑥
将m2=1+k2代入⑥并化简得-5（k2+1）=0，矛盾．
即此时直线l不存在．…（12分）
（ii）当l垂直于x轴时，满足|
| OP |
由A、B两点的坐标为（1，
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
当x=1时，
| OA |
| OB |
| 3 |
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| 2 |
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当x=-1时，
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 4 |
∴此时直线l也不存在．
综上所述，使
| OA |
| OB |
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，有难度．
练习册系列答案
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如图，已知椭圆
如图，椭圆C：