Question

已知椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线为l₁，l₂，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l₁，又l与l₂交于P点，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A，B．
（1）若l₁与l₂夹角为60°，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程及离心率；
（2）求

FA

AP

的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，先由双曲线的性质得出a，b所满足的关系式a=

3

b，再与a²+b²=2²联立求出两者的值即可得出椭圆的方程；
（2）由题意，联立l与l₂的方程求出它们的交点P点的坐标，再令

FA

AP

=λ，利用引入的参数表示出点A的坐标，由于点A在椭圆上，代入椭圆的方程结合椭圆的性质求出λ的取值范围，即可得出所求的最大值．

解答： 解：（1）双曲线的渐近线为y=±

b

a

x，两渐近线夹角为60°，又

b

a

＜1，∴∠POx=30°，
∴

b

a

=tan 30°=

3

3

，∴a=

3

b．又a²+b²=2²，
∴3b²+b²=4，
∴b²=1，a²=3，∴椭圆C的方程为

x2

3

+y²=1，
∴离心率e=

a2-b2

a

=

6

3

．
（2）由已知，l：y=

a

b

（x-c）与y=

b

a

x联立，
解方程组得P（

a2

c

，

ab

c

）．
设

FA

AP

=λ，则

FA

=λ

AP

，∵F（c，0），设A（x₀，y₀），
则（x₀-c，y₀）=λ(

a2

c

-x0，

ab

c

-y0)，
∴x₀=

c+λ× a2 c

1+λ

，y₀=

λ× ab c

1+λ

．即A（

c+λ× a2 c

1+λ

，

λ× ab c

1+λ

）．
将A点坐标代入椭圆方程，得（c²+λa²）²+λ²a⁴=（1+λ）²a²c²，
等式两边同除以a⁴，（e²+λ）²+λ²=e²（1+λ）²，e∈（0，1），
∴λ²=

e4-e2

e2-2

=-[2-e2+

2

2-e2

]+3≤-2 

(2-e2)× 2 2-e2

+3=3-2

2

=（

2

-1）²，
∴当2-e²=

2

，即e²=2-

2

时，λ有最大值

2

-1，即

FA

AP

的最大值为

2

-1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，此类题运算量大，综合性强，容易出错，解答时要严谨，避免变形出错导致解题失败