Question

5．已知直线L：y=x+m与抛物线y²=8x交于A、B两点（异于原点），
（1）若直线L过抛物线焦点，求线段|AB|的长度；
（2）若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用弦长公式可求；
（2）由于OA⊥OB，从而有x₁x₂+y₁y₂=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．

解答 解：（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）
m=-2，直线L：y=x-2与抛物线y²=8x联立可得x²-12x+4=0，
∴x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
∴|AB|=$\sqrt{2}•\sqrt{144-16}$=16------------------------------------（6分）
（2）∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0------------------------------------（7分）
x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，2x₁x₂+m（x₁+x₂）+m²=0-----------------------------------------（9分）
2m²+m（8-2m）+m²=0，m²+8m=0，m=0或m=-8，---------------------------------（11分）
经检验m=-8------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．