Question

15．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（4a+1）x-8a+4，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$，若a=$\frac{1}{2}$，则函数f（x）的值域为R；若函数f（x）是R上的减函数，求实数a的取值范围为[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

Answer 1

分析 由题意利用函数的单调性的性质，对数函数、二次函数的单调性，可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4a+1}{2}≥1}\\{0＜a＜1}\\{1-（4a+1）-8a+4≥0}\end{array}\right.$，由此求得实数a的取值范围．

解答 解：若a=$\frac{1}{2}$，当x＜1时，函数f（x）=x²-3x=${（x-\frac{3}{2}）}^{2}$-$\frac{9}{4}$∈[-2，+∞）；
当x≥1时，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}x$≤0，故函数f（x）的值域为[-2，+∞）∪（-∞，0]=R．
若函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（4a+1）x-8a+4，x＜1}\\{lo{g}_{a}x，x≥1}\end{array}\right.$在R上单调递减，则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4a+1}{2}≥1}\\{0＜a＜1}\\{1-（4a+1）-8a+4≥0}\end{array}\right.$，
求得$\frac{1}{4}$≤a≤$\frac{1}{3}$，
故答案为：R；[$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$]．

点评 本题主要考查函数的单调性的性质，对数函数、二次函数的单调性，属于中档题．