题目内容
16．若函数$f（x）=\frac{2}{3}{x^3}-2{x^2}+ax+10$在区间[-1，4]上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）| A． | （-∞，-16]∪[2，+∞） | B． | （-16，2） | C． | [2，+∞） | D． | （-∞，-16] |
分析 求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系进行求解即可．
解答 解：函数的导数f′（x）=2x2-4x+a，
∵f（x）在[-1，4]递减，
∴f′（x）=2x2-4x+a≤0在[-1，4]恒成立，
即a≤-2x2+4x在[-1，4]恒成立，
令g（x）=-2x2+4x，x∈[-1，4]，
则g′（x）=-4x+4=-4（x-1），
令g′（x）＞0，解得：-1≤x＜1，
令g′（x）＜0，解得：1＜x≤4，
故函数g（x）在[-1，1）递增，在（1，4]递减，
而g（-1）=-6，g（1）=2，g（4）=-16，
故g（x）的最小值是-16，
故a≤-16，
故选：D．
点评 本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，比较基础．
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4．对于函数f（x）=x图象上的任一点M，在函数g（x）=lnx上都存在点N（x0，y0），使以线段MN为直径的圆都经过坐标原点O，则x0必然在下面哪个区间内？（ ）
| A． | （$\frac{1}{{e}^{3}}$，$\frac{1}{{e}^{2}}$） | B． | （$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$） | C． | （$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{2}$） | D． | （$\frac{1}{2}$，1） |