Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则

1

a

+

2

b

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，确定z取最大值点的最优解，利用基本不等式的性质，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y=-

a

b

x+

z

b

，
则直线的斜率k=-

b

a

＜0，截距最大时，z也最大．
平移直y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线y=-

a

b

x+

z

b

经过点A时，
直线y=-

a

b

x+

z

b

的截距最大，此时z最大，
由

3x-y-6=0 x-y+2=0

，解得

x=4 y=6

，
即A（4，6），
此时z=4a+6b=6，
即

2a

3

+b=1，
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（

2a

3

+b）=

8

3

+

b

a

+

4a

3

≥

8

3

+2

b a • 4a 3

=

8

3

+

4 3

3

=

8+4 3

3

，
当且仅当

b

a

=

4a

3b

，即a=

3

2

b时取等号，此时b=

3- 3

2

，a=3-

3

时取等号．．
故答案为：

8+4 3

3

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义先求出最优解是解决本题的关键，利用基本不等式的解法和结合数形结合是解决本题的突破点．