Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，连结AC₁交平面A₁BD于点H，给出以下结论：
①AC₁⊥平面A₁BD；  
②AH=

3

3

；
③直线AC₁与BB₁所成的角为60°．
则正确的结论是

 

．（正确的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间角,简易逻辑

分析：直接由线面垂直的判定证明①正确；
由等积法求解AH的值，从而判断命题②；
由异面直线所成角的定义得到直线AC₁与BB₁所成的角，通过解直角三角形得答案．

解答： 解：对于①，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵CC₁⊥上底面ABCD，
∴CC₁⊥BD，
又ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，
AC∩CC₁=C，
∴BD⊥面ACC₁，
∴AC₁⊥BD，
同理得到AC₁⊥A₁B，
又A₁B∩BD=B，
∴AC₁⊥平面A₁BD，①正确；
对于②，∵正方体棱长为1，
∴A1B=A1D=BD=

2

，
则△A₁BD的面积为

1

2

×

2

×

6

2

=

3

2

．
由VA1-ABD=VA-A1BD，
得

1

3

×

1

2

×1×1×1=

1

3

×

3

2

×AH，解得：AH=

3

3

．②正确；
对于③，直线AC₁与BB₁所成的角即为∠A₁AC₁，
tan∠A1AC1=

A1C1

AA1

=

2

，∴③错误．
则正确的结论是①②．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查正方体的体对角线AC₁的性质：①AC₁⊥平面A₁BD，AC₁⊥平面CB₁D₁；②AC₁被平面A₁BD与平面CB₁D₁三等分；③AC₁=

3

AB．是中档题．