Question

对于n∈N^*，求证：1+

1

2

+…+

1

n

≥eln（n+1）-n．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：先证明n=1时，原不等式成立，再假设n=k时，不等式成立，即1+

1

2

+…+

1

k

≥eln（k+1）-k，进而证明出n=k+1时不等式也成立．

解答： 证明：（ⅰ）当n=1时，原不等式成立；
（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即1+

1

2

+…+

1

k

≥eln（k+1）-k，
则当n=k+1时，1+

1

2

+…+

1

k

+

1

k+1

≥eln（k+1）-k+

1

k+1

，
证明eln（k+1）-k+

1

k+1

≥eln（k+2）-k-1，
即证明eln

k+1

k+2

≥-

k+2

k+1

成立，
即证明eln

k+2

k+1

≤

k+2

k+1

成立，
令x=

k+2

k+1

，即证

lnx

x

≤

1

e

（x＞1），
可构造函数f（x）=

lnx

x

（x＞1），则f′（x）=

1-lnx

x2

，
∴（1，e）上f′（x）＞0，（e，+∞）上f′（x）＜0
∴

lnx

x

≤

1

e

，即当n=k+1时，不等式也成立．
综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．