Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，求a的值；
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上存在单调减区间，求a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于-

3

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得x＞0，f′(x)=2ax-2+

1

x

，由此利用导数的几何意义能求出a=

1

2

．
（2）由已知得f′(x)=2ax-2+

1

x

≤0，即a≤

1

x

-

1

2x2

=

2x-1

2x2

，设h（x）=

2x-1

2x2

，h′（x）=

4x-4x2

4x4

=

1-x

x3

，由此利用导数性质能求出a的取值范围．
（3）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0，解得：0＜a＜

1

2

．设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，由导数性质得x₂是f（x）的极小值点，由此利用导数性质和构造法能证明f（x）的极小值f（x₂）＜-

3

2

．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax²-2x+lnx，
∴x＞0，f′(x)=2ax-2+

1

x

，
∵曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=2a-2+1=0，解得a=

1

2

．
（2）f′(x)=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

，
∵函数f（x）在[2，+∞）上存在单调减区间，
∴f′(x)=2ax-2+

1

x

≤0，
∴a≤

1

x

-

1

2x2

=

2x-1

2x2

，
设h（x）=

2x-1

2x2

，h′（x）=

4x-4x2

4x4

=

1-x

x3

，
∵x＞2，∴h′（x）＜0，
∴h（x）是减函数，∴h（x）_max=h（2）=

3

8

，
∴a≤

3

8

．
（3）由题意，2ax²-2x+1=0有两不同的正根，
故△＞0，a＞0，解得：0＜a＜

1

2

；
设2ax²-2x+1=0的两根为x₁，x₂，不妨设x₁＜x₂，
因为在区间（0，x₁），（x₂，+∞）均有f′（x）＞0，
而在区间（x₁，x₂）上，f′（x）＜0，
故x₂是f（x）的极小值点，
∴2ax₂²-2x₂+1=0，∴a=

2x2-1

2x22

，
由0＜a＜

1

2

，知x₂＞

1

2

，且x₂≠1，
∴f(x2)=ax22-2x2+lnx2
=

2x2-1

2x22

•x22-2x2+lnx2
=lnx₂-x₂-

1

2

（x2＞

1

2

，且x₂≠1），
构造函数Q（x）=lnx-x-

1

2

（x＞

1

2

且x≠1），
Q′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

，
∴Q（x）＜Q（1）=-

3

2

，
∴f（x）的极小值f（x₂）＜-

3

2

．

点评：本题考查实数值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质和构造法的合理运用．