Question

已知f（x）=2^x（x∈R）可以表示为一个奇函数g（x）与一个偶函数h（x）之和，若不等式a•g（x）+h（2x）≥0对于x∈[2，3]恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性的性质，求出g（x）和h（x）的表达式，然后利用参数分离法 即可求出a的取值范围．

解答： 解：∵h（x）+g（x）=2^x，
∴h（-x）+g（-x）=2^-x，
即h（x）-g（x）=2^-x，
两式联立解得h(x)=

2x+2-x

2

，g（x）=

2x-2-x

2

，
则不等式a•g（x）+h（2x）≥0等价为a•

2x-2-x

2

+

22x+2-2x

2

≥0，
∴a•

2x-2-x

2

≥-

22x+2-2x

2

，
即a（2^x-2^-x）≥-（2^2x+2^-2x），
∵x∈[2，3]，∴2^x-2^-x＞0，且t=2^x-2^-x为增函数，
∴

15

4

≤t≤

63

8

，
即a≥-（

22x+2-2x

2x-2-x

）=-

(2x-2-x)2+2

2x-2-x

=-（2^x-2^-x+

2

2x-2-x

）=-（t+

2

t

），
∵y=t+

2

t

在

15

4

≤t≤

63

8

上是增函数，
∴当t=

15

4

时，y取得最小值为

15

4

+

2

15 4

=

257

60

，
∴-（t+

2

t

）≤-

257

60

，
∴a≥-

257

60

，
故答案为：a≥-

257

60

，

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用函数的奇偶性求出函数g（x）和h（x）的表达式是解决本题的关键．