Question

如图所示，四棱锥P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M为PC的中点．
（I）求证：BM∥平面PAD；
（Ⅱ）求直线PB与平面ABM所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角M-BC-D的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（I）根据线面平行的判定定理即可郑明明BM∥平面PAD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出对应的向量坐标，即可求直线PB与平面ABM所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角M-BC-D的正弦值．

解答： （I）证明：取PD的中点E，连结AE和EM，
则EM

∥ .

.

1

2

CD，又AB

∥ .

.

1

2

CD，∴AB

∥ .

.

EM，
∴四边形ABME为平行四边形，∴BM∥AE
又∵MB∉平面PAD，AE?平面PAD∴BM∥平面PAD
（Ⅱ）以A为原点，以AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
如图，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（2，0，0），
E（1，0，1），M（1，1，1），P（0，0，2），设直线PB与平面ABM所成的角为θ，
∵AD=AP，E是PD中点，∴AE⊥PE，
∵PA⊥AB，AD⊥AB，
∴AB⊥面PAD，∴AB⊥PE
∴PE⊥面ABME，即

PE

为面ABM的法向量，
∵

PB

=(0，1，-2)，|

PB

|=

5

，  

PE

=(1，0，-1)．|

PE

|=

2

∴cos＜

PB

，

PE

＞=

PB • PE

| PB |•| PE |

=

2

5 × 2

=

10

5

．
∴sinθ=cos＜

PB

，

PE

＞=

10

5

（Ⅲ）设二面角M-BC-D的平面角为a，平面MBC的法向量为

m

=（x，y，z），
则

m

•

BM

=0，

m

•

BC

=0，
∵

BM

=(1，0，1)，

BC

=(2，1，0)，∴x+z=0，2x+y=0，
不妨设x=1，则

m

=(1，-2，-1)，|

m

|=

6

，
∵

AP

为平面ABCD的法向量，且

AP

=(0，0，2)．|

AP

|=2
∴cos＜

AP

，

m

＞=

AP • m

| AP |•| m |

=

-2

2 6

=-

6

6

．∴sinα=

30

6

解法二：（I）同上；
（Ⅱ）连结BE，∵AD=AP，E是PD中点，∴AE⊥PE．
∵PA⊥AB．AD⊥AB，∴AB⊥面PAD，
∴AB⊥PE
∴PE⊥面ABME
∴∠PBE就是直线PB与平面ABM所成的角．
∵PE=

2

，PB=

5

，     ∴sinθ=

PE

PB

=

10

5

（Ⅲ）连结AC，取AC的中点N，连结MN，过点N作NH⊥BC于H，连结MH，
∵M是PC的中点，N是AC的中点，∴MN∥PA且MN=

1

2

PA=1
∴MN⊥面BCD
又∵NH⊥BC，∴MH⊥BC
∴∠MHN就是二面角M-BC-D的平面角，设为α．
在Rt△BMC中，BC=

5

，MC=

1

2

PC=

3

，MB=

2

∴MH=

MB•MC

BC

=

6

5

     ∴sinα=

MN

MH

=

30

6

∴二面角M-BC-D的正弦值为

30

6

．

点评：本题主要考查空间直线和平面平行的判定，以及空间角的计算，要求熟练掌握直线和平面所成的角以及二面角的求解方法，利用向量法是解决本题的关键．