Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，满足bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，

π

2

]的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,正弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）变形已知结合正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，进而可得cosB=

1

2

，可得B=

π

3

；（Ⅱ）化简可得f（x）=

3

sin（ωx+

π

6

），由周期可得ω=2，由x的范围可得sin（2x+

π

6

）的范围，进而可得最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB，
由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，
∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosB，
∴cosB=

1

2

又∵B∈（0，π），∴B=

π

3

（Ⅱ）由已知f（x）=cos（ωx-

B

2

）+sinωx
=cos（ωx-

π

6

）+sinωx=

3

2

cosωx+

3

2

sinωx
=

3

sin（ωx+

π

6

）
由已知得

2π

ω

=π，解得ω=2
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

6

）
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴当x=

π

6

时，f（x）的最大值为

3

当x=

π

2

时，f（x）的最大值为-

3

2

点评：本题考查两角和与差的正余弦公式，涉及正弦定理和三角函数的最值，属基础题．