Question

已知函数f（x）=

1+ax

1-x

e^-2x
（1）若函数y=f（x）在x=2时有极值，求a的值；
（2）若对任意x∈（0，1）时，f（x）＞1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用函数y=f（x）在x=2时有极值，可得f′（2）=0，即可求a的值；
（2）对任意x∈（0，1）时，f（x）＞1恒成立，可知a＞

(1-x)e2x-1

x

，证明x∈（0，1）时，

(1-x)e2x-1

x

＜1恒成立，即可求a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+ax

1-x

e^-2x，
∴f′（x）=

a+1-2(1+ax)(1-x)

(1-x)2

e^-2x，
∵函数y=f（x）在x=2时有极值，
∴f′（2）=0，
∴5a+3=0，
∴a=-

3

5

；
（2）由对任意x∈（0，1）时，f（x）＞1恒成立，
可知a＞

(1-x)e2x-1

x

，
下面证明x∈（0，1）时，

(1-x)e2x-1

x

＜1恒成立，
只需证明：（1-x）e^2x＜1+x，
只需证明x∈（0，1）时，g（x）=（x-1）e^2x+（x+1）＞0．
∵g′（x）=e^2x（2x-1）+1＞g′（0）=0，
∴g（x）在（0，1）上单调递增，
∴g（x）＞g（0）=0恒成立，
∴x∈（0，1）时，

(1-x)e2x-1

x

＜1恒成立，

lim

x→0

(1-x)e2x-1

x

=

lim

x→0

m(x)-m(0)

x-0

（m（x）=（1-x）e^2x）=m′（x）|_x=1=1，
∴

(1-x)e2x-1

x

的最小上界为1，
∴a≥1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．