Question

对数列{a_n}和{b_n}，若对任意正整数n，恒有b_n≤a_n，则称数列{b_n}是数列{a_n}的“下界数列”．
（1）设数列a_n=2n+1，请写出一个公比不为1的等比数列{b_n}，使数列{b_n}是数列{a_n}的“下界数列”；
（2）设数列an=2n2-3n+10，bn=

n+2

2n-7

，求证数列{b_n}是数列{a_n}的“下界数列”；
（3）设数列an=

1

n2

，bn=

7，n=1 7 n - 7 n-1 ，n≥2

，n∈N^*，构造T_n=（1-a₂）（1-a₃）…（1-a_n），P_n=（1+b₁）+（1+b₂）+…+（1+b_n），求使T_n≤kP_n对n≥2，n∈N^*恒成立的k的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：新定义

分析：（1）bn=(

1

2

)n，根据新定义，验证下即可；
（2）先确定n=1时a_n最小值为9；n=4时，b_n最大值为6，从而b_n＜a_n，可得结论；
（3）求出T_n，P_n，再利用分离参数法，可得k≥

n+1

2(n2+7)

，T_n≤kP_n对n≥2，n∈N^*恒成立，等价于k≥[

n+1

2(n2+7)

]max，从而求出函数的最大值，即可求得k的最小值．

解答： （1）解：bn=(

1

2

)n，此时令y=b_n-a_n=(

1

2

)n-（2n+1），则y′=(

1

2

)nln

1

2

-2＜0，
∴函数单调递减，∴b_n-a_n≤b₁-a₁=-

5

2

＜0
∴对任意正整数n，恒有b_n＜a_n，
∴数列{b_n}是数列{a_n}的“下界数列”；…（4分）
（2）证明：an=2(n-

3

4

)2+

71

8

，当n=1时a_n最小值为9；…（6分）
bn=

1

2

•

n- 7 2 + 11 2

n- 7 2

=

1

2

(1+

11 2

n- 7 2

)，则b3＜b2＜b1＜

1

2

，b4＞b5＞…＞

1

2

，
因此，n=4时，b_n最大值为6，…（9分）
所以，b_n＜a_n，数列{b_n}是数列{a_n}的“下界数列”；…（10分）
（3）解：Tn=(1-

1

22

)(1-

1

32

)…(1-

1

n2

)=

1×3

22

•

2×4

32

…

(n-1)(n+1)

n2

=

n+1

2n

，…（11分）
Pn=n+

7

n

，…（12分）
不等式为

n+1

2n

≤k•

n2+7

n

，∴k≥

n+1

2(n2+7)

∵T_n≤kP_n对n≥2，n∈N^*恒成立，∴k≥[

n+1

2(n2+7)

]max，…（13分）
设n+1=t，t≥3，则

n+1

2(n2+7)

=

t

2(t2-2t+8)

=

1

2(t+ 8 t -2)

，…（15分）
当t≥3时，t+

8

t

单调递增，∴t=3时，t+

8

t

取得最小值，因此[

n+1

2(n2+7)

]max=

3

22

，…（17分）
∴k的最小值为

3

22

．…（18分）

点评：本题考查新定义，考查新定义的运用，考查恒成立问题，解题的关键是正确理解新定义，将恒成立问题转化为求最大值问题．