Question

设P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A，B为垂足，PA=4，PB=2，则AB的长为

 

．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，由题意知∠AQB是二面角α-l-β的平面角，由此利用余弦定理能求出AB．

解答： 解：设平面PAB与二面角的棱l交于点Q，
连结AQ、BQ得直线l⊥平面PAQB，
∵P是60°的二面角α-l-β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，
∴∠AQB是二面角α-l-β的平面角，∴∠AQB=60°，
∴△PAB中，∠APB=180°-60°=120°，PA=4，PB=2，
由余弦定理得：
AB²=PA²+PB²-2PA•PAcos120°
=4²+2²-2×4×2×（-

1

2

）=28，
∴AB=

28

=2

7

．
故答案为：2

7

．

点评：本题考查直线与平面垂直的判定和二面角的概念，是中档题，解题时要注意利用正、余弦定理解三角形的灵活运用．