Question

如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长AB=1，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥面BDE；
（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；
（3）若二面角E-BD-C为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结OE，得OE∥PA．由此能证明PA∥面BDE．
（2）由线面垂直得PO⊥BD，由正方形性质得BD⊥AC，从而BD⊥面PAC．由此能证明面PAC⊥面BDE．
（3）取OC中点F，连结EF，由已知条件推导出∠EOF为二面角E-BD-C的平面角，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （1）证明：连结OE，如图所示．
∵O、E分别为AC、PC的中点，∴OE∥PA．
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE．
（2）证明：∵PO⊥面ABCD，∴PO⊥BD．
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC=O，∴BD⊥面PAC．
又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE．
（3）解：取OC中点F，连结EF．∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO．
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD．
∵OF⊥BD，∴OE⊥BD．
∴∠EOF为二面角E-BD-C的平面角，∴∠EOF=30°．
在Rt△OEF中，OF=

1

2

OC=

1

4

AC=

2

4

，
∴EF=OF•tan300=

6

12

，
∴PO=2EF=

6

6

．
∴VP-ABCD=

1

3

×1×

6

6

=

6

18

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．