Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1
（1）求f（x）表达式；
（2）若f（|x|）=m有四个不等根，则m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用待定系数法思想得出；设f（x）=ax²+bx+1，2a=2，a+b=0，求解即可．（2）画图象得出f（|x|）与y=m有4个交点，运用图象判断即可．

解答： 解：（1）f（0）=1
设f（x）=ax²+bx+1，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-ax²-bx-1=2x
2a=2，a+b=0
∴a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x，
（2）f（|x|）=x²-|x|，
f（

1

2

）=-

1

4

，
∵f（|x|）=m有四个不等根，
∴f（|x|）与y=m有4个交点，
∴据图得出：-

1

4

＜m＜0

点评：本题考查了待定系数思想求解解析式，结合图象得出交点对应参变的范围，属于中档题．