题目内容
3．某中学为了解高中入学新生的身高情况，从高一年级学生中按分层抽样共抽取了50名学生的身高数据，分组统计后得到了这50名学生身高的频数分布表：| 身高（cm）分组 | [145，155） | [155，165） | [165，175） | [175，185] |
| 男生频数 | 1 | 5 | 12 | 4 |
| 女生频数 | 7 | 15 | 4 | 2 |
（Ⅱ）估计这50名学生身高的方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）现从身高在[175，185]这6名学生中随机抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．
分析 （Ⅰ）由频率分布表能作出这50名学生身高的频率分布直方图．
（Ⅱ）由频率分布直方图能估计这50名学生的平均身高，并能估计这50名学生身高的方差．
（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．利用列举法能求出从这6名学生中随机抽取3名学生，至少抽到1名女生的概率．
解答 解：（Ⅰ）这50名学生身高的频率分布直方图如下图所示：
（Ⅱ）由题意可估计这50名学生的平均身高为$\overline x=\frac{150×8+160×20+170×16+180×6}{50}$=164．
所以估计这50名学生身高的方差为s2=$\frac{{8{{（{150-164}）}^2}+20{{（{160-164}）}^2}+16{{（{170-164}）}^2}+6{{（{180-164}）}^2}}}{50}$=80．
所以估计这50名学生身高的方差为80．
（Ⅲ）记身高在[175，185]的4名男生为a，b，c，d，2名女生为A，B．
从这6名学生中随机抽取3名学生的情况有：
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，A}，{a，b，B}，
{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，
{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，
{c，A，B}，{d，A，B}共20个基本事件．
其中至少抽到1名女生的情况有：
{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，
{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，
{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共16个基本事件．
所以至少抽到1名女生的概率为$\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$．
点评 本题考查频率分布直方图的应用，概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．
开心蛙状元测试卷系列答案| 分组 | [10，20） | [20，30） | [30，40） | [40，50） | [50，60） | [60，70） |
| 频数 | 5 | 4 | 3 | 2 | 4 | 2 |
| A． | 0.70 | B． | 0.60 | C． | 0.45 | D． | 0.35 |
一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产的零件中有缺点的零件数随机器运转的速度而变化，如表为抽样数据：| 转速x（转/秒） | 16 | 14 | 12 | 8 |
| 每小时生产有缺点的零件数y（件） | 11 | 9 | 8 | 5 |
（Ⅱ）根据散点图判断，y=ax+b与$y=c\sqrt{x}+d$哪一个适宜作为每小时生产的零件中有缺点的零件数y关于转速x的回归方程类型 （给出判断即可，不必说明理由），根据判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若实际生产中，允许每小时生产的零件中有缺点的零件数最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
（参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．）
已知多面体ABCDEF中，四边形ABCD为平行四边形，AD⊥平面AEC，且$AC=\sqrt{2}$，AE=EC=1，AD=2EF，EF∥AD．| A． | 2 | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | -2 | D． | $-\frac{1}{2}$ |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ | C． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$ |