Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设等差数列的首项为a₁，公差为d，由题意构造方程组，解得即可，从而可求出数列的通项公式；
（2）利用叠加法求出数列{b_n}的通项公式，然后利用裂项法进行求和即可．

解答： 解：（1）设等差数列的首项为a₁，公差为d，则4a₁+

4×3

2

d=4（2a₁+d），a₁+（2n-1）d=2a₁+2（n-1）d+1，解得a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1．
（2）数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1，
∴b_n-b_n-1=2n+1
∴b₂-b₁=2×2+1，
b₃-b₂=2×3+1，
…
b_n-b_n-1=2n+1，
累加可得，
∴b_n-b₁=2（2+3+4+…+n）+n-1=n²+n-2+n-1，
∴b_n=n²+2n=n（n+2），
验证当n=1时，b₁=1+2=3，成立
∴

1

bn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）
∴T_n=

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）
=

3

4

-

2n+3

2n2+6n+4

点评：本题主要考查了利用递推关系求数列的通项公式，以及利用叠加法裂项求数列的和，同时考查了计算能力，属于中档题．