已知集合A是同时满足下列两个性质的函数f(x)的全体．①函数f(x)在其定义域上是单调函数,②f(x)的定义域内存在区间[a.b].使得f(x)在[a.b]上的值域为[$\frac{a}{2}.\frac{b}{2}$]．=x3是否属于M.若是.求出所有满足②的区间[a.b].若不是.说明理由,(2)若是否存在实数t.使得h(x)=$\sqrt{x-1}+t∈M$.若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知集合A是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体．
①函数f（x）在其定义域上是单调函数；
②f（x）的定义域内存在区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域为[$\frac{a}{2}，\frac{b}{2}$]．
（1）判断f（x）=x³是否属于M，若是，求出所有满足②的区间[a，b]，若不是，说明理由；
（2）若是否存在实数t，使得h（x）=$\sqrt{x-1}+t∈M$，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，说明理由．

分析（1）可以看出g（x）为增函数，满足条件①，而方程x³=$\frac{x}{2}$有三个不同的解，从而满足条件②，从而说明g（x）属于M，且可写出所有满足②的区间[a，b]；
（2）利用导数可得函数h（x）在定义域[1，+∞）上是增函数．若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h（a）=$\frac{a}{2}$，h（b）=$\frac{b}{2}$，即a-2$\sqrt{a-1}$-2t=0，且b-2$\sqrt{b-1}$-2t=0．令$\sqrt{x-1}$=y（x≥1），则y≥0，于是关于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有2个不等实根，利用二次函数的性质求得t的范围．

解答解：（1）g（x）=x³在R上为增函数，满足性质①；
解x³=$\frac{x}{2}$得，x=0，或x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴满足性质②；
∴g（x）属于M，且满足②的区间[a，b]为[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0]，[0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，或[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），
当x＞1时，h′（x）=$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}$＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，
若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，
使得h（a）=$\frac{a}{2}$，h（b）=$\frac{b}{2}$，即a-2$\sqrt{a-1}$-2t=0，且b-2$\sqrt{b-1}$-2t=0，
令$\sqrt{x-1}$=y（x≥1），则y≥0，
于是关于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，
记u（y）=y²-2y+1-2t，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△＞0}\\{u（0）≥0}\end{array}\right.$，∴t∈（0，$\frac{1}{2}$]．