Question

在△ABC中，角A＜B是sinA＜sinB的（　　）

• A、充分不必要条件
• B、必要不充分条件
• C、充要条件
• D、既不充分又不必要条件

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：先看由角A＜B能否得到sinA＜sinB：讨论A，B∈(0，

π

2

]和A∈(0，

π

2

)，B∈(

π

2

，π)两种情况，并结合y=sinx在（0，

π

2

]单调性及0＜A+B＜π即可得到sinA＜sinB；然后看由sinA＜sinB能否得到A＜B：根据上一步的讨论方法以及y=sinx的单调性即可得到sinA＜sinB，所以得到角A＜B是sinA＜sinB的充要条件．

解答： 解：（1）△ABC中，角A＜B：
若0＜A＜B≤

π

2

，根据y=sinx在（0，

π

2

]上单调递增得到sinA＜sinB；
若0＜A＜

π

2

，

π

2

＜B＜π，∵0＜A+B＜π，∴0＜A＜π-B＜

π

2

，所以sinA＜sin（π-B）=sinB；
∴角A＜B能得到sinA＜sinB；
即A＜B能得到sinA＜sinB；
∴角A＜B是sinA＜sinB的充分条件；
（2）若sinA＜sinB：
A，B∈（0，

π

2

]时，y=sinx在(0，

π

2

]上单调递增，所以由sinA＜sinB，得到A＜B；
A∈(0，

π

2

)，B∈(

π

2

，π)时，显然满足A＜B；
即sinA＜sinB能得到A＜B；
∴A＜B是sinA＜sinB的必要条件；
综合（1）（2）得角A＜B，是sinA＜sinB的充要条件．
故选C．

点评：考查充分条件、必要条件、充要条件的概念，以及正弦函数y=sinx在(0，

π

2

]上的单调性，通过y=sinx在（0，π）的图象看函数的取值情况，及条件0＜A+B＜π．