Question

6．已知△ABC中A（3，2）、B（-1，5），C点在直线3x-y+3=0上，若S_△ABC=10，求△ABC外接圆的方程．

Answer 1

分析 利用三角形的面积，求出C 的坐标，利用待定系数法，求△ABC外接圆的方程．

解答 解：设点C到直线AB的距离为d
由题意知：|AB$\sqrt{（3+1）^{2}+（2-5）^{2}}$=5
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×5×d=10，∴d=4
直线AB的方程为：y-5=$\frac{5-2}{-1-3}$（x+1），即3x+4y-17=0
∵C点在直线3x-y+3=0上，设C（m，3m+3）
∴d=$\frac{|3m+12m+12-17|}{5}$=4
∴m=-1或$\frac{5}{3}$，∴C点的坐标为：（-1，0）或（$\frac{5}{3}$，8）．
C（-1，0），则$\left\{\begin{array}{l}{9+4+3D+2E+F=0}\\{1+25-D+5E+F=0}\\{1+0-D+F=0}\end{array}\right.$，∴D=-$\frac{1}{2}$，E=-5，F=-$\frac{3}{2}$，
∴△ABC外接圆的方程x²+y²-$\frac{1}{2}$x-5y-$\frac{3}{2}$=0．
C（$\frac{5}{3}$，8），则$\left\{\begin{array}{l}{9+4+3D+2E+F=0}\\{1+25-D+5E+F=0}\\{\frac{25}{9}+64+\frac{5}{3}D+8E+F=0}\end{array}\right.$，
∴D=-$\frac{25}{6}$，E=-$\frac{89}{9}$，F=$\frac{347}{18}$，
∴△ABC外接圆的方程x²+y²-$\frac{25}{6}$x-$\frac{89}{9}$y+$\frac{347}{18}$=0．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查圆的方程，求出C 的坐标是关键．