Question

1．函数f（x）=|x-a|，a＜0
（Ⅰ）若a=-2求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集
（Ⅱ）若不等式f（x）+f（2x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a=-2，分类讨论，即可求不等式f（x）+f（2x）＞2的解集；
（Ⅱ）求出函数f（x）的值域为[-$\frac{a}{2}$，+∞），利用不等式f（x）+f（2x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，求a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=-2时，f（x）=|x+2|，
f（x）+f（2x）=|x+2|+|2x+2|＞2，
不等式可化为$\left\{\begin{array}{l}{x≤-2}\\{-x-2-2x-2＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-2＜x＜-1}\\{x+2-2x-2＞2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥-1}\\{x+2+2x+2＞2}\end{array}\right.$
解得x∈（-∞，-2）∪（-$\frac{2}{3}$，+∞）；
（Ⅱ）f（x）+f（2x）=|x-a|+|2x-a|，
当x≤a时，f（x）=a-x+a-2x=2a-3x，则f（x）≥-a；
当a$＜x＜\frac{a}{2}$时，f（x）=x-a+a-2x=-x，则-$\frac{a}{2}$＜f（x）＜-a；
当x≥$\frac{a}{2}$时，f（x）=x-a+2x-a=3x-2a，则x≥-$\frac{a}{2}$，
所以函数f（x）的值域为[-$\frac{a}{2}$，+∞），
因为不等式f（x）+f（2x）＜$\frac{1}{2}$的解集非空，
即为$\frac{1}{2}＞-\frac{a}{2}$，
解得a＞-1，
由于a＜0，
则a的取值范围为（-1，0）．

点评 本题考查不等式的解法，考查函数的值域，考查学生转化问题的能力，属于中档题．