Question

14．（实验班）f（x）=x²+4x+2在区间[t，t+2]上最小值为g（t），求g（t）的表达式．

Answer 1

分析 利用二次函数的对称轴以及开口方向，通过对称轴是否在区间内，讨论求函数的最小值．

解答 解：函数f（x）=（x+2）²-2的图象的对称轴方程为x=-2，开口向上．
当-2∈[t，t+2]，即t≤-2≤t+2，也就是-4≤t≤-2时，g（t）=f（-2）=-2；
当-2∉[t，t+2]时，
①当t＞-2时，f（x）在[t，t+2]上为增函数，故g（t）=f（t）=t²+4t+2．
②当t+2＜-2，即t＜-4时，f（x）在[t，t+2]上为减函数，
故g（t）=f（t+2）=（t+2）²+4（t+2）+2=t²+8t+14．
故g（t）的解析式为g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+8t+14，t＜-4}\\{-2，-4≤t≤-2}\\{{t}^{2}+4t+2，t＞-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数的最值的应用，考查分类讨论的思想方法和分析问题解决问题的能力，属于中档题．