Question

3．在直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点$（2\sqrt{2}，1）$到两焦点的距离之和为4$\sqrt{3}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P在椭圆C上，F₁、F₂为椭圆C的左右焦点，若∠F₁PF₂=$\frac{π}{3}$，求△F₁PF₂的面积．

Answer 1

分析 （1）由题意设出椭圆标准方程，且求得a，把点$（2\sqrt{2}，1）$代入椭圆方程求b，则答案可求；
（2）先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设出|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，利用余弦定理可求得t₁t₂的值，最后利用三角形面积公式求解．

解答 解：（1）由题意，设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），则2a=4$\sqrt{3}$，a=2$\sqrt{3}$．
∵点$（2\sqrt{2}，1）$在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上，
∴$\frac{8}{12}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，解得b=$\sqrt{3}$，
∴所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）∵a=$2\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}=3$，
设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，
则t₁+t₂=$4\sqrt{3}$，①
t₁²+t₂²-2t₁t₂•cos60°=36，②
由①²-②得t₁t₂=4，
∴${S}_{△{F}_{1}P{F}_{2}}=\frac{1}{2}$t₁t₂•sin60°=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．涉及焦点三角形问题，常用椭圆定义及余弦定理解决，是中档题．