Question

4．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3$\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{8}{5}$
• B． $\frac{7}{5}$
• C． $\frac{6}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$可得到$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=-5\overrightarrow{OC}$①，$4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{OA}$②，$3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OC}=-4\overrightarrow{OB}$③，这三个式子的两边分别平方即可求出cos∠AOB，cos∠BOC，cos∠AOC，从而可以得出sin∠AOB，sin∠BOC，sin∠AOC，这样根据三角形的面积公式即可分别求出△AOB，△BOC，△AOC的面积，从而得到△ABC的面积．

解答 解：如图，$|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|=|\overrightarrow{OC}|=1$；

∴由$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$得：
$3\overrightarrow{OA}+4\overrightarrow{OB}=-5\overrightarrow{OC}$①，$4\overrightarrow{OB}+5\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{OA}$②，$3\overrightarrow{OA}+5\overrightarrow{OC}=-4\overrightarrow{OB}$③；
①两边平方得：$9+24\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+16=25$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=0$；
∴$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$；
∴OA⊥OB；
同理②③两边分别平方得：$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}=cos＜\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}＞=-\frac{4}{5}$，$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=cos＜\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OC}＞=-\frac{3}{5}$；
∴$sin∠BOC=\frac{3}{5}，sin∠AOC=\frac{4}{5}$；
∴S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC=$\frac{1}{2}×1×1+\frac{1}{2}×1×1×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×1×1×\frac{4}{5}$=$\frac{6}{5}$．
故选：C．

点评 考查数量积的运算及其计算公式，三角形内角的范围，以及sin²α+cos²α=1，三角形的面积公式：$S=\frac{1}{2}absinC$．