Question

15．已知正项等比数列{a_n}中，a₁a₅+2a₂a₆+a₃a₇=100，a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36，求数列{a_n}的通项a_n及前n项和S_n．

Answer 1

分析 设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），运用等比数列的性质，讨论q＞1和0＜q＜1，运用通项公式可得q，即可得到所求通项和前n项和S_n．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
由a₁a₅+2a₂a₆+a₃a₇=100，
可得a₃²+2a₃a₅+a₅²=100，
即为（a₃+a₅）²=100，
则a₃+a₅=10，①
a₂a₄-2a₃a₅+a₄a₆=36，
即有a₃²-2a₃a₅+a₅²=36，
即为（a₃-a₅）²=36，
若q＞1，则a₅-a₃=6②，
若0＜q＜1，则a₅-a₃=-6③，
由①②可得a₃=2，a₅=8，
即有q=2，a_n=2•2^n-3=2^n-2，
S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=$\frac{{2}^{n}-1}{2}$；
由①③可得a₃=8，a₅=2，
解得q=$\frac{1}{2}$，a_n=8•2^3-n=2^6-n，
S_n=$\frac{32（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=64-2^6-n．
综上可得a_n=2^n-2，S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2}$；
a_n=2^6-n，S_n=64-2^6-n．

点评 本题考查等比数列的通项公式和性质，以及求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．