Question

5．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{4}{5}$，以其焦点为顶点，左右顶点为焦点的双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}$x．

Answer 1

分析 运用离心率公式，求得a，b，c，求得椭圆的焦点和左右顶点，可得双曲线的顶点及焦点，设出双曲线的方程，将“1”换为“0”，可得渐近线方程．

解答 解：由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，
可令a=5t，c=4t，则b=3t，（t＞0），
椭圆的焦点为（-4t，0），（4t，0），
左右顶点为（-5t，0），（5t，0），
则双曲线的焦点为（-5t，0），（5t，0），
顶点为（-4t，0），（4t，0），
设双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{16{t}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9{t}^{2}}$=1，
可得渐近线方程为y=±$\frac{3}{4}$x．
故答案为：y=±$\frac{3}{4}$x．

点评 本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，主要考查焦点和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．