Question

函数f（x）=

a

3

x³-

1

2

x²+ax+1（a∈R）的导函数为f′（x）．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）已知不等式f′（x）＞x²+x-a对任意a∈（0，+∞）都成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）利用导数的运算法则可得：f′（x）=ax²-x+a，由于函数f（x）在x=2时取得极值，可得
f′（2）=0．解出并验证即可．
（II） 方法一：由题设知：ax²-x+a＞x²+x-a对任意a∈（0，+∞）都成立．
?a（x²+2）-x²-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立．设 g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），则对任意x∈R，g（a）为单调递增函数（a∈R），利用一次函数的单调性可得g（0）≥0，解出即可．
方法二：由题设知：ax²-x+a＞x²+x-a，对任意a∈（0，+∞）都成立，
?a（x²+2）-x²-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立，分离参数可得：a＞

x2+2x

x2+2

对任意a∈（0，+∞）都成立，即

x2+2x

x2+2

≤0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=ax²-x+a，
由于函数f（x）在x=2时取得极值，
∴f′（2）=0．
即 4a-2+a=0，解得a=

2

5

，
此时f′（x）在x=2两边异号，f（x）在x=2处取得极值．
（Ⅱ） 方法一：由题设知：ax²-x+a＞x²+x-a对任意a∈（0，+∞）都成立．
即a（x²+2）-x²-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立．
设 g（a）=a（x²+2）-x²-2x（a∈R），则对任意x∈R，g（a）为单调递增函数（a∈R），
∴对任意a∈（0，+∞），g（a）＞0恒成立的充分必要条件是g（0）≥0，
即-x²-2x≥0，∴-2≤x≤0，
于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．
方法二：由题设知：ax²-x+a＞x²+x-a，对任意a∈（0，+∞）都成立，
即a（x²+2）-x²-2x＞0对任意a∈（0，+∞）都成立
于是a＞

x2+2x

x2+2

对任意a∈（0，+∞）都成立，即

x2+2x

x2+2

≤0，
∴-2≤x≤0，于是x的取值范围是{x|-2≤x≤0}．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了分离参数法、一次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．