Question

已知函数f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），有下列五个命题：
①不论a，b为什么值，函数y=f（x）的图象关于原点对称；
②若a=b≠0，函数f（x）的极小值是2a，极大值是-2a；
③若ab≠0，则函数y=f（x）的图象上任意一点的切线都不可能经过原点；
④当ab≠0时，函数y=f（x）图象上任意一点的切线与直线y=ax及y轴所围成的三角形的面积是定值．
其中正确的命题是

 

  （填上你认为正确的所有命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，可以判断该函数是奇函数，由此说明；
对于②，当a＜0，b＞0时，f（x）=ax+

b

x

是单调函数，不满足题意；
对于③可先用切点把切线方程表示出来，然后将（0，0）代入，只要是无解即可说明；
对于④先表示出任意一点处切线的方程，然后求出该切线与y=ax，y轴的交点，则三角形的三个交点可以求出，面积可求．

解答： 解：函数f（x）=ax+

b

x

（a，b∈R），
①函数的定义域为{x|x≠0}，f（-x）=-ax+

b

-x

=-(ax+

b

x

)=-f(x)，
∴不论a，b为什么值，函数y=f（x）的图象关于原点对称，命题①正确；
②若a=b≠0，则f′(x)=a-

b

x2

=

ax2-b

x2

，
当a＜0，b＞0时，f′（x）＜0，函数f（x）无极值，命题②错误；
③若ab≠0，则f′(x)=a-

b

x2

=

ax2-b

x2

，
∴过函数y=f（x）的图象上任意一点（x0，ax0+

b

x0

）的切线方程为y-ax0-

b

x0

=

ax02-b

x02

(x-x0)，
代入（0，0）得，-ax0-

b

x0

=-

ax02-b

x0

，即b=0，与ab≠0矛盾，
∴函数y=f（x）的图象上任意一点的切线都不可能经过原点，命题③正确；
④当ab≠0时，函数y=f（x）图象上任意一点的切线方程为y-ax0-

b

x0

=

ax02-b

x02

(x-x0)，
与y=ax联立得交点为（2x₀，2ax₀），令x=0得切线与y轴交点为（0，

2b

x0

），原点为（0，0），
∴围成的三角形面积为

1

2

•

2b

x0

•2ax₀=2ab．
∴与直线y=ax及y轴所围成的三角形的面积是定值．
∴正确的命题是①③④．
故答案为：①③④．

点评：本题以命题为载体考查了导数在研究函数的极值、切线中的应用，有一定难度．