Question

已知抛物线C：y²=2px（p＜0）过点A（-1，-2）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为120°的直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB的长度．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线C经过的点，即可求出p，然后求其准线方程；
（2）求出过该抛物线的焦点，倾斜角为120°的直线的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式直接求线段AB的长度．

解答： 解：（1）将（-1，-2）代入y²=2px，得（-2）²=-2p•1，
∴p=-2．
故所求的抛物线C的方程为y²=-4x，其准线方程为x=1．
（2）由y²=-4x焦点（-1，0），
直线AB方程为y=-

3

（x+1）．
由

y2=-4x y=- 3 x+1

，
消去y得x²+

10

3

x+1=0，设直线m与抛物线C交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

10

3

，x₁x₂=1，
易求得|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

(- 10 3 )2-4

=

16

3

．

点评：本题考查抛物线方程的求法，直线与抛物线的位置关系，弦长公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．