Question

已知抛物线G：x²=4y；
（Ⅰ）过点P（2，1）作抛物线G的切线，求切线方程；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是抛物线G上异于原点的两动点，其中x₁＞x₂＞0，以A，B为直径的圆恰好过抛物线的焦点F，延长AF，BF分别交抛物线G于C，D两点，若四边形ABCD的面积为32，求直线AC的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设出直线方程，联立直线和抛物线方程，利用判别式等于0求解斜率，则切线方程可求；
（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），得到BD的方程，分别和抛物线联立后利用弦长公式求得AC，BD的长度，代入四边形的面积公式求得直线斜率，则直线AC的方程可求．

解答： 解：（1）由题意可知，抛物线的切线的斜率存在，设为k（k≠0），
过点P（2，1）的切线方程为y-1=k（x-2），
联立

x2=4y y=kx+1-2k

，得x²-4kx+4（2k-1）=0．
由△=0，即16k²-16（2k-1）=0，解得k=1．
∴所求的直线方程是y=x-1；
（2）由题意可设直线AC的方程为y=kx+1（k≠0），
则直线BD的方程为y=-

1

k

x+1．
由

x2=4y y=kx+1

，得x²-4kx-4=0．
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．
∴|AC|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

16k2+16

=4（1+k²）．
同理：|BD|=4×(1+

1

k2

)=

4(1+k2)

k2

．
∵四边形ABCD的面积为32，
∴

1

2

|AC||BD|=32，
即

1

2

×4(1+k2)×

4(1+k2)

k2

=32．
解得：k=1或k=-1．
∴直线AC的方程是：y=x+1．

点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了判别式法求曲线的切线方程，考查了弦长公式的应用，涉及直线与曲线的关系问题，常采用直线与圆锥曲线联立，根据方程的根与系数的关系求解，但圆锥曲线的特点是计算量比较大，要求考生具备较强的运算推理的能力，是压轴题．