Question

已知f（x）=x²-（a+1）x+a
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）若f（x）＞0对x∈[2，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,一元二次不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）直接分a=1，a＞1，a＜1求解不等式的解集；
（2）由不等式f（x）＞0对x∈[2，+∞）恒成立得到x²-（a+1）x+a＞0对x∈[2，+∞）恒成立，
由此得到（a+1）²-4a≤0或

a+1 2 ≤2 f(2)=4-2(a+1)+a＞0

，求解即可得到满足条件的a的范围．

解答： 解：（1）由f（x）＞0，得x²-（a+1）x+a＞0，
即（x-1）（x-a）＞0，
当a=1时，不等式的解集为∅；
当a＞1时，不等式的解集为（-∞，1）∪（a，+∞）；
当a＜1时，不等式的解集为（-∞，a）∪（1，+∞）．
（2）由f（x）＞0对x∈[2，+∞）恒成立，
即x²-（a+1）x+a＞0对x∈[2，+∞）恒成立，
则（a+1）²-4a≤0或

a+1 2 ≤2 f(2)=4-2(a+1)+a＞0

．
解得：a=1或a＜2．
∴实数a的取值范围是（-∞，2）．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了利用“三个二次”结合求解参数的取值范围问题，体现了数学转化思想方法，是中档题．