Question

【题目】已知函数，曲线在点，（1）处的切线方程为．

（1）求函数的解析式，并证明：．

（2）已知，且函数与函数的图象交于，，，两点，且线段的中点为，，证明：（1）.

Answer 1

【答案】（1）；证明见解析；（2）证明见解析；

【解析】

（1）根据题意，对求导得，利用导数的几何意义和切线方程求出和，即可求出的解析式，令，利用导数研究函数得单调性和最值得出，即可证明不等式；

（2）结合分析法，把所要证明的问题转化为证明，设，进而转化为只需证：，构造函数，利用导数研究函数的单调性，从而可证明出（1）.

解：（1）由题可知，，则，

由于在点，（1）处的切线方程为，

所以（1），即，

即（1），则，解得：，

则．

令，，

令，即，解得：，

则时，，单调递减；时，，单调递增，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

，则．

（2）由题可知，，且，

则，，

要证（1）成立，

只需证：，

即证：，即证：，

只需证：，

不妨设，即证：，

要证，只需证：，

令，则，

在上为增函数，

，即成立；

要证，只需证：，

令，则，

在上为减函数，

，即成立．

，成立，

（1）成立．