题目内容

【题目】如图,五边形中,四边形为长方形,为边长为的正三角形,将沿折起,使得点在平面上的射影恰好在上.

(Ⅰ)当时,证明:平面平面

(Ⅱ)若,求平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).

【解析】

试题

Ⅰ)作,垂足为,依题意得平面平面,结合勾股定理可得平面,平面平面.

由几何关系,以轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面的法向量平面的法向量.计算可得平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.

试题解析:

Ⅰ)作,垂足为,依题意得平面

平面

利用勾股定理得,同理可得.

中,

平面,又平面

所以平面平面

Ⅱ)连结

,又四边形为长方形,.

中点为,得,连结

其中

由以上证明可知互相垂直,不妨以轴建立空间直角坐标系.

是平面的法向量,

则有

是平面的法向量,

则有

.

所以平面与平面所成二面角的余弦值的绝对值为.

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