Question

已知数列{a_n}，a_n＞0，其前n项和S_n满足S_n=

1

2

(an-1)(an+2)，其中n∈N^*．
（1）求证；数列{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）设b_n=a_n•2^-n，T_n为数列{b_n}的前n项和，求证：T_n＜3；
（3）设c_n=4ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）在数列递推式中取n=1求得首项，取n=n-1得另一递推式，作差后得到数列{a_n}为等差数列，首项为2，公差为1，则通项公式可求；
（2）把数列的通项公式代入b_n=a_n•2^-n，整理后利用错位相减法求出数列{b_n}的前n项和，放缩后证得答案；
（3）由c_n+1＞c_n成立得到2^n-1+（-1）ⁿλ＞0，然后分n为奇数和n为偶数结合λ为非零整数求得λ的值．

解答： （1）证明：当n=1时，由S_n=

1

2

(an-1)(an+2)，得
2a1=a12+a1-2，解得a₁=2；
当n≥2时，2Sn=an2+an-2，
2Sn-1=an-12+an-1-2，
作差得：2an=an2+an-an-12-an-1，
（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴数列{a_n}为等差数列，首项为2，公差为1，
则a_n=2+1×（n-1）=n+1；
（2）证明：b_n=a_n•2^-n=

n+1

2n

，
Tn=

2

21

+

3

22

+…+

n+1

2n

，

1

2

Tn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

，
作差得：

1

2

Tn=1+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

=1+

1 4 - 1 2n+1

1- 1 2

-

n+1

2n+1

．
∴Tn=3-

n+3

2n

＜3；
（3）解：由4ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²＞4ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ⁺¹，
得3•4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺²+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹＞0，
即3•4ⁿ+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹×3＞0，
2^n-1+（-1）ⁿλ＞0，
当n为奇数时，λ＜2^n-1，∴λ＜1；
当n为偶数时，λ＞-2^n-1，∴λ＞-2．
∴-2＜λ＜1，
又λ为非零整数，∴λ=-1．

点评：本题考查了等差关系的确定，考查了错位相减法求数列的前n项和，训练了分类讨论法证明数列不等式，是压轴题．