Question

已知函数f（x）=log₂（x²+ax+a+1）为R上偶函数，g（x）=（

1

2

）^x-m．
（1）若对任意x₂∈[-2，-1]，都存在x₁∈[0，

3

]，使得f（x₁）=g（x₂），求实数m的范围；
（2）若对任意x₁∈[0，

3

]，x₂∈[-2，-1]，使得f（x₁）≥g（x₂），求实数m的范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（-x）=f（x）求得a的值，再利用函数的单调性求得f（x）和g（x）的值域，再根据g（x）的值域是f（x）的值域的子集，求得m的范围．
（2）由题意可得，f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）的最大值，即 0≥4-m，由此求得m的范围．

解答： 解：（1）由f（-x）=f（x）可得 log₂（x²-ax+a+1）=log₂（x²+ax+a+1），
∴x²-ax+a+1=x²+ax+a+1，∴a=0，函数f（x）=log₂（x²+1）．
∵g（x）=（

1

2

）^x-m，x₂∈[-2，-1]时，g（x₂）∈[2-m，4-m]，
x₁∈[0，

3

]时，f（x₁）∈[0，2]，
结合题意可得[2-m，4-m]⊆[0，2]，∴

2-m≥0 4-m≤2

，求得m=2．
（2）由题意可得，f（x₁）的最小值大于或等于g（x₂）的最大值，即 0≥4-m，求得 m≥4．

点评：本题主要考查对数函数的图象和和性质的综合应用，函数的恒成立问题，属于基础题．