Question

已知等差数列{a_n}的公差不为零，a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；   
（Ⅱ）令b_n=a_n+2ⁿ，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件利用等差数列通项公式和等比数列性质能求出公差，由此能求出a_n=-2n+27．
（Ⅱ）由b_n=a_n+2ⁿ，利用分组求和法能求出{b_n}的前n项S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的公差不为零，
a₁=25，且a₁，a₁₁，a₁₃成等比数列，
∴

(a1+10d)2=a1(a1+12d) d≠0

，
解得d=-2，
∴a_n=-2n+27．
（Ⅱ）∵b_n=a_n+2ⁿ，
∴S_n--2（1+2+3+…+n）+27n+（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=-2×

n(n+1)

2

+27n+

2(1-2n)

1-2

=-n²+26n+2ⁿ⁺¹-2．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．