Question

1．（1）已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切．求椭圆C的方程；
（2）已知⊙A₁：（x+2）²+y²=12和点A₂（2，0），求过点A₂且与⊙A₁相切的动圆圆心P的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的离心率以及椭圆的短半轴长为半径的圆与直线$\sqrt{7}$x-$\sqrt{5}$y+12=0相切，列出方程组求解a，b，即可得到椭圆方程．
（2）判断P点的轨迹为以A₁，A₂为焦点的双曲线，求出a，b，即可得到双曲线方程．

解答 解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{\frac{12}{\sqrt{7+5}}=b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=4，b=2$\sqrt{3}$，c=2 …（3分）
故椭圆C的A₁方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$．     …（5分）
（2）⊙A₁：（x+2）²+y²=12和点A₂（2，0），过点A₂且与⊙A₁相切的动圆圆心P
满足：||PA₁|-|PA₂||=$2\sqrt{3}＜|{{A_1}{A_2}}|$…（7分）
故P点的轨迹为以A₁，A₂为焦点的双曲线            …（8分）
$2a=2\sqrt{3}，c=2，解得a=\sqrt{3}，b=1$…（9分）
圆心P的轨迹方程为：$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1$　            …（10分）

点评 本题考查椭圆的简单性质以及双曲线的定义的应用，考查转化思想以及计算能力．