Question

4．二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x（0＜x≤10）与销售价格y（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：

使用年数	2	4	6	8	10
售价	16	13	9.5	7	4.5

（1）若这两个变量呈线性相关关系，试求y关于x的回归直线方程$\hat y=\hat bx+\hat a$；
（2）已知小王只收购使用年限不超过10年的二手车，且每辆该型号汽车的收购价格为ω=0.03x²-1.81x+16.2万元，根据（1）中所求的回归方程，预测x为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大？
（销售一辆该型号汽车的利润=销售价格-收购价格）
参考公式：$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$，$\hat a=\overline y-\hat b\overline x$．

Answer 1

分析 （1）计算平均数，分别求出$\widehat{b}$，$\widehat{a}$的值，求出回归方程即可；
（2）求出方程L（x），根据二次函数的性质求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）由已知：$\overline x=6$，$\overline y=10$，…（2分）
$\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}=242$，$\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}=220$$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^5{x_i}{y_i}-5\overline x\overline y}}{{\sum_{i=1}^5{{x_i}^2}-5{{\overline x}^2}}}=-1.45$，…（5分）
$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=18.7$…（6分）
所求线性回归直线方程为$\hat y=-1.45x+18.7$…（7分）
（2）L（x）=y-ω=-1.45x+18.7-（0.03x²-1.81x+16.2）
=-0.03x²+0.36x+2.5=-0.03（x-6）²+3.58（0＜x≤10）…（10分）
∵0＜x≤10
∴当x=6时，L（x）_max=3.58（万元） …（11分）
所以预测x=6时，销售一辆该型号汽车所获得的利润L（x）最大．…（12分）

点评 本题考查了求回归方程问题，考查二次函数的性质以及求函数最值问题，是一道中档题．