Question

已知函数f（x）=|ax-2|+|ax-a|（a＞0）．
（I）当a=1时，求f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）若不存在实数x，使f（x）＜3成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，不等式即f（x）=|x-2|+|x-1|≥x，分类讨论求得解集．
（Ⅱ）依题意可得，对?x∈R，都有f（x）≥3，再根据f（x）=|a-2|，可得|a-2|≥3．解不等式求得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x-2|+|x-1|≥x，当x≥2时，解得x≥3；
当1＜x＜2时，解得x≤1，∴无解； 当x≤1时，解得x≤1．
综上可得到解集{x|x≤1或x≥3}．
（Ⅱ）依题意，对?x∈R，都有f（x）≥3，
则有f（x）=|ax-2|+|ax-a|≥|（ax-2）-（ax-a）|=|a-2|≥3，
故有 a-2≥3，或 a-2≤-3，解得a≥5，或 a≤-1（舍去），
∴a≥5，即a的取值范围为[5，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的性质，绝对值不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．