Question

如图，△ABC的三个内角分别为A，B，C，cosA=

1

3

，cosB=

2 2

3

．CD是∠ACB的角平分线．
（1）求角C的大小；
（2）当CD=8

2

-4，求AC，BC的长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）依题意，可求得cos²A+cos²B=1，于是可得sinA=cosB，即A、B互余，从而得角C的大小；
（2）当CD=8

2

-4时，利用正弦定理可求得AD=

CDsin∠ACD

sinA

=6

2

-3，BD=

CD×sin∠BCD

sinB

=24-6

2

，从而可求AC，BC的长．

解答： 解：（1）∵cosA＞0，cosB＞0，且A，B是，△ABC的内角，
∴0＜A＜

π

2

，0＜B＜

π

2

，
又cos²A+cos²B=

1

9

+

8

9

=1，
∴sin²A=cos²B，sinA=cosB=sin（

π

2

-B），
∴A+B=

π

2

，故C=

π

2

．
（2）由（1）知，C=

π

2

，∴∠DCB=

π

4

，
又sinA=cosB=

2 2

3

，sinB=cosA=

1

3

，
在△ABC中，由正弦定理得：AD=

CDsin∠ACD

sinA

=

(8 2 -4)× 2 2

2 2 3

=6

2

-3，
 在△ABC中，由正弦定理得：BD=

CD×sin∠BCD

sinB

=

(8 2 -4)× 2 2

1 3

=24-6

2

，
∴AB=AD+BD=6

2

-3+24-6

2

=21，
∴AC=ABsinB=21×

1

3

=7，
DC=AB×sinA=21×

2 2

3

=14

2

．

点评：本题考查同角三角函数间的关系，着重考查正弦定理与余弦定理的综合运用，考查推理、运算与求解能力，属于中档题．