Question

设函数y=f（x）的定义域为R，若存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立，则称为“有界泛函”．现在给出如下5个函数：
①f（x）=x²；   
②f(x)=

x

x2+x+1

；  
③f（x）=sinx；  
④y=xcosx；
⑤f（x）是R上的奇函数，且满足对一切x₁，x₂∈R，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|．
其中属于“有界泛函”的函数是

 

（填上所有正确的序号）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：由新定义逐个选项验证可得．

解答： 解：选项①显然不存在常数M＞0，使|x²|≤M|x|恒成立，故错误；
选项②当x≠0时，f(x)=

x

x2+x+1

=

1

x+ 1 x +1

，
∵x+

1

x

∈（-∞，-2]∪[2，+∞）
∴

1

x+ 1 x +1

∈（0，

1

3

]∪[-1，0），
当x=0时，f（x）=0，故f（x）∈[-1，

1

3

]，故正确；
选项③f（x）=sinx∈[-1，1]，显然正确；
选项④y=xcosx，也存在M使得式子成立，故正确；
对于⑤，令x₁=0，则f（0）=0，
已知式化为|f（x₂）|≤|x₂|，显然也符合定义，
故答案为：②③④⑤

点评：本题考查新定义，涉及函数的值域，属基础题．