Question

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}π$
• B． $\frac{{32\sqrt{3}}}{27}π$
• C． $\frac{{28\sqrt{3}}}{27}π$
• D． $\frac{{28\sqrt{21}}}{27}π$

Answer 1

分析 根据题意，由三视图分析可得，原几何体为三棱柱，同时可得其上下底面为边长以及高，设外接球的球心为O，半径为R，由三棱柱的几何结构分析可得R的值，代入球的体积公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，由三视图分析可得，原几何体为三棱柱，
如图：其上下底面为边长为2的正三角形，其高为2，
设外接球的球心为O，半径为R，上下底面的中心为G′、G，
分析可得OG=1，AG=$\frac{2}{3}$×$\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
则有R=OA=$\sqrt{1+\frac{4}{3}}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
其外接球体积V=$\frac{4π}{3}$（$\sqrt{\frac{7}{3}}$）³=$\frac{28\sqrt{21}π}{27}$；
故选：D．

点评 本题考查几何体的三视图，涉及球的体积计算，关键是由三视图分析几何体的形状．