Question

14．下列结论不正确的是（　　）
①.$\frac{1}{{{2^{10}}}}+\frac{1}{{{2^{10}}+1}}+\frac{1}{{{2^{10}}+2}}+…+\frac{1}{{{2^{11}}-1}}＞1$
②若|a|＜1，则|a+b|-|a-b|＞2
③lg9•lg11＜1
④若x＞0，y＞0，则$\frac{x+y}{1+x+y}＜\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}$．

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①③

Answer 1

分析 由不等式的左边由2¹⁰项，且小于$\frac{1}{{2}^{10}}$，即可判断①；运用绝对值不等式的性质，即可判断②；
运用基本不等式，即可判断③；运用不等式的放缩法，即可判断④．

解答 解：对于①，$\frac{1}{{2}^{10}}$+$\frac{1}{{2}^{10}+1}$+$\frac{1}{{2}^{10}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{11}-1}$＜$\frac{1}{{2}^{10}}$+$\frac{1}{{2}^{10}}$+…+$\frac{1}{{2}^{10}}$=1，故①不正确；
对于②若|a|＜1，则|a+b|-|a-b|≤|（b+a）-（b-a）|=2|a|＜2，故②不正确；
对于③，lg9•lg11＜（$\frac{lg9+lg11}{2}$）²＜$\frac{l{g}^{2}100}{4}$=1，故③正确；
对于④，若x＞0，y＞0，由$\frac{x}{1+x}$＞$\frac{x}{1+x+y}$，$\frac{y}{1+y}$＞$\frac{y}{1+x+y}$，
可得$\frac{x+y}{1+x+y}＜\frac{x}{1+x}+\frac{y}{1+y}$，故④正确．
故选：A．

点评 本题考查命题的真假判断和运用，主要是不等式的放缩和基本不等式的运用，以及不等式的性质，考查推理能力和判断能力，属于中档题．