Question

7．若函数f（x）=（x-b）lnx（b∈R）在区间[1，e]上单调递增，则实数b的取值范围是（-∞，1]．

Answer 1

分析 令f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，对b进行讨论得出b的范围．

解答 解：f′（x）=lnx+$\frac{x-b}{x}$=lnx-$\frac{b}{x}$+1，
∵f（x）在[1，e]上单调递增，∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立，
若b≤0，显然f′（x）＞0恒成立，符合题意，
若b＞0，则f′′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{b}{{x}^{2}}$＞0，
∴f′（x）=lnx-$\frac{b}{x}$+1在[1，e]上是增函数，
∴f′（x）≥f′（1）≥0，即-b+1≥0，解得0＜b≤1，
综上，b的范围是（-∞，1]．
故答案为（-∞，1]．

点评 本题考查了函数的单调性与导数的关系，函数的最值计算，属于中档题．