题目内容

已知共焦点F1，F2的椭圆与双曲线，它们的一个公共点是P，若
F1P
•
F2P
=0，椭圆的离心率e1与双曲线的离心率e2的关系式为（　　）
A、
1
e12
+
1
e22
=2
B、
1
e12
-
1
e22
=2
C、e12+e22=2
D、e22-e12=2
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：设椭圆与双曲线的方程分别为：
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1，
x2
a
2
2
-
y2
b
2
2
=1．设|PF1|=m，|PF2|=n．利用椭圆和双曲线的定义可得：m+n=2a1，m-n=2a2．两边平方可得4
a
2
1
+4
a
2
2
=（m+n）2+（m-n）2=2（m2+n2），由
F1P
•
F2P
=0，可得F1P⊥F2P．再利用勾股定理可得m2+n2=（2c）2=4c2，再利用离心率计算公式即可得出．
解答： 解：如图所示，
设椭圆与双曲线的方程分别为：
x2
a
2
1
+
y2
b
2
1
=1，
x2
a
2
2
-
y2
b
2
2
=1．
其中a1＞b1＞0，a2＞0，b2＞0，
a
2
1
-
b
2
1
=c2=
a
2
2
+
b
2
2
．
设|PF1|=m，|PF2|=n．
则m+n=2a1，m-n=2a2．
∴4
a
2
1
+4
a
2
2
=（m+n）2+（m-n）2=2（m2+n2），
∵
F1P
•
F2P
=0，∴F1P⊥F2P．
∴m2+n2=（2c）2=4c2，
∴4
a
2
1
+4
a
2
2
=2×4c2，
∴
a
2
1
+
a
2
2
=2c2．
∴
1
c2
a
2
1
+
1
c2
a
2
2
=
1
e
2
1
+
1
e
2
2
=2．
故选：A．
点评：本题考查了椭圆与双曲线的定义、标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
相关题目
某农户准备建一个水平放置的直四棱柱形储水窖（如图），其中直四棱柱的高AA1=10m，两底面ABCD，A1B1C1D1是高为2m，面积为10m2的等腰梯形，且∠ADC=θ（0＜θ＜
π
2
）．若储水窖顶盖每平方米的造价为100元，侧面每平方米的造价为400元，底部每平方米的造价为500元．
（1）试将储水窖的造价y表示为θ的函数；
（2）该农户如何设计储水窖，才能使得储水窖的造价最低，最低造价是多少元（取
3
=1.73）．
已知f（x）=x2，-1≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤1，an=|f（xn）-f（xn-1）|，n∈N*，Sn=a1+a2+a3+…+an，则Sn的最大值等于
 
．
已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4cm的半圆，则此圆锥的体积是
 
．
已知直线l与函数y=x2的图象交于A，B两点，且线段AB与函数y=x2的图象围成的图形面积为
4
3
，则线段AB的中点P的轨迹方程为
 
．
为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表．
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生 20 5 25
女生 10 15 25
合计 30 20 50
则至少有（　　）的把握认为喜爱打篮球与性别有关．
A、95%B、99%
C、99.5%D、99.9%
i是虚数单位，复数
-2i
1+i
的虚部为（　　）
A、2B、-1C、1D、-2
已知集合U={-1，0，1}，A={1}，B⊆U，则B∩（∁UA）不可能为（　　）
A、∅B、{0}
C、{-1，0}D、{-1，0，1}
设f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求函数g（x）=
2-f(x)
的定义域；
（Ⅱ）若存在实数，满足f（x）≤mx+1．试求实数m的取值范围．

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